Question

如圖，將邊長為12cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P．
（1）若AM=5，①求AE的長；②求折痕EF的長．
（2）隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置（點M不與A、D重合），△PDM的周長是否發生變化？請說明理由．

Answer 1

解：（1）①設AE=x，由折疊的性質可知EM=BE=12-x，
在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE²+AM²=EM²，即x²+5²=（12-x）²，
解得x=，即AE=cm；
②過點F作FG⊥AB，垂足為G，連接BM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵四邊形BCFG是矩形，
∴FG=BC，
∴AB=FG，
∵BM⊥FE，
∴∠EBM+∠BEF=90°，
∵∠BMA+∠EBM=90°，
∠BEF=∠BMA，
又∵∠A=∠EGF=90°，
∴△ABM≌△GFE，
∴EF=BM===13cm；

（2）△PDM的周長不變，為24cm．
理由：設AE=x，AM=y，則BE=EM=12-x，MD=12-y，
在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²+AM²=EM²，
x²+y²=（12-x）²，解得144-y²=24x，
∵∠EMP=90°，∠A=∠D，
∴Rt△AEM∽Rt△DMP，
∴=，即=，
解得DM+MP+DP==24．
分析：（1）①設AE=x，由折疊的性質可知EM=BE=12-x，在Rt△AEM中，運用勾股定理求AE；②過點F作FG⊥AB，垂足為G，連接BM，根據折疊的性質得點B和點M關于EF對稱，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可證△ABM≌△GFE，把求EF的問題轉化為求BM；
（2）設AE=x，AM=y，則BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的關系式，可證Rt△AEM∽Rt△DMP，根據相似三角形的周長比等于相似比求△DMP的周長．
點評：本題考查了折疊的性質．關鍵是根據折疊前后對應線段相等怎么全等三角形，根據角的互余關系證明相似三角形，結合勾股定理，相似三角形的性質解題．