Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（-2，0）、（0，1），⊙C 的圓心坐標為（0，-1），半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，射線AD與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值是（　　）

• A、3
• B、

  11

  3

• C、

  10

  3

• D、4

Answer 1

分析：當射線AD與⊙C相切時，△ABE面積的最大．設EF=x，由切割線定理表示出DE，可證明△CDE∽△AOE，根據相似三角形的性質可求得x，然后求得△ABE面積．

解答：解：當射線AD與⊙C相切時，△ABE面積的最大．
連接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD=AO=2，
連接CD，設EF=x，
∴DE²=EF•OE，
∵CF=1，
∴DE=

x(x+2)

，
∴△CDE∽△AOE，
∴

CD

AO

=

CE

AE

，
即

1

2

=

x+1

2+ x(x+2)

，
解得x=

2

3

，
S_△ABE=

BE×AO

2

=

2×( 2 3 +1+2)

2

=

11

3

．
故選B．

點評：本題是一個動點問題，考查了切線的性質和三角形面積的計算，解題的關鍵是確定當射線AD與⊙C相切時，△ABE面積的最大．