Question

初三某班在慶祝申奧成功的活動中，制作某種喜慶用品需將一張半徑為2的半圓形紙板沿它的一條弦折疊，使得弧與直徑相切，如圖所示，如果切點分直徑為3：1兩部分，則折痕長為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點為A、G，過切點F作PF⊥半徑OC交OP于P點，根據垂徑定理及其推論得到BD=DC，即OP為BC的中垂線，OP必過弧BGC所在圓的圓心，再根據切線的性質得到PF必過弧BGC所在圓的圓心，則點P為弧BGC所在圓的圓心，根據折疊的性質有⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，由F點分⊙O的直徑為3：1兩部分可計算出OF=1，在Rt△OPF中，設OG=x，利用勾股定理可計算出x，則由AG=PG-AP計算出AG，可得到DG的長，于是可計算出OD的長，在Rt△OBD中，利用勾股定理計算BD，即可得到BC的長．
解答：解：過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點為A、G，過切點F作PF⊥半徑OC交OP于P點，如圖，
∵OP⊥BC，
∴BD=DC，即OP為BC的中垂線，
∴OP必過弧BGC所在圓的圓心，
又∵OE為弧BGC所在圓的切線，PF⊥OE，
∴PF必過弧BGC所在圓的圓心，
∴點P為弧BGC所在圓的圓心，
∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，
∴⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，
∴OG=AP，
而F點分⊙O的直徑為3：1兩部分，
∴OF=1，
在Rt△OPF中，設OG=x，則OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x=-2，
∴AG=2-（-2）=4-，
∴DG==2-，
∴OD=OG+DG=-2+2-=，
在Rt△OBD中，BD²=OB²-OD²，即BD²=2²-（）²，
∴BD=，
∴BC=2BD=．
故選B．
點評：本題考查了折疊的性質：折疊后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了垂徑定理、切線的性質以及勾股定理．