Question

【題目】如圖1，在矩形中，，分別以所在的直線為軸、軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，連接,反比例函數的圖象經過線段的中點，并與矩形的兩邊交于點和點，直線經過點和點.

（1）連接、，求的面積；

（2）如圖2，將線段繞點順時針旋轉—定角度，使得點的對應點好落在軸的正半軸上，連接，作，點為線段上的一個動點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

(1)連接、，過點D作DP⊥OC，易得：B(3，4)，從而得D(1.5，2)，進而得，即：，E(，4)，F(3，1)，根據割補法，即可求出答案；

(2)過點N作NQ⊥OB于點Q，HG⊥OB于點G，易得OH=OB=5，BH=，HG=BC=4，易證OQN~OMB，得NQ=，得到，進而得到答案.

（1）連接、，過點D作DP⊥OC，如圖1，

∵在矩形中，，

∴B(3，4)，

∵點D是OB的中點，

∴DP=BC=OA=2，OP=OC=1.5，即：D(1.5，2)，

∵反比例函數的圖象經過線段的中點，

∴k=xy=1.5×2=3，即：，

∴，E(，4)，F(3，1)，

∴BE=3-=，BF=4-1=3，

∴，

∴=；

（2）過點N作NQ⊥OB于點Q，HG⊥OB于點G，如圖2，

∵線段繞點順時針旋轉—定角度，點的對應點好落在軸的正半軸上，

∴OH=OB=，

∴CH= OH-OC=5-3=2，

∴BH=，

∵，

∴HG=BC=4，

∵，

∴BM=BH=，

∵∠NOQ=∠BOM，∠OQN=∠OMB=90°，

∴OQN~OMB，

∴，即：，

∴NQ=，

∴，

∵，

∴，

∴的最小值是：4.