Question

如圖，拋物線y=a(x-1)2-

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3

經過△ABC的三個頂點，已知點A（-1，0），點C在y軸上，且BC∥x軸．
（1）求a的值；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）探究：
①若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAC周長的最小值；
②若點P是拋物線對稱軸且在直線BC上方的一個動點，是否存在點P使△PAB是等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先把點A的坐標代入拋物線的解析式即可得出a的值；
（2）本題需先根據x=0，得出AC=2，再根據對稱性可得點B的坐標，求出BC的值，從而證出AC=BC，即可得出△ABC是等腰三角形；
（3）①本題須先根據題意得出直線AB與對稱軸的交點為點P時，△PAC周長的最小，再求出AC+AB的值即可；
②本題需分當PA=AB時，當PB=AB時，當PA=PB時三種情況進行討論即可得出點P坐標．

解答：解：（1）將點A（-1，0）代入拋物線y=a(x-1)2-

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3

，
得：0=a(-1-1)2-

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3

，
解得a=

3

3

；

（2）△ABC是等腰三角形，
令x=0，則y=

3

3

(0-1)2-

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=-

3

，
∴點C（0，-

3

），
∴在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=2，
由對稱性可得點B（2，-

3

），
∴BC=2，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（3）①由于點B、C關于拋物線對稱軸對稱，
所以取直線AB與對稱軸的交點為點P時，
△PAC周長的最小，△PAC周長=AC+AB=2+2

3

，
②當PA=AB時，點P坐標為(1，2

2

)，
當PB=AB時，點P坐標為(1，

11

-

3

)，
當PA=PB時，點P坐標為（1，0）．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合知識，在解題時要能靈活應用二次函數和等腰三角形的有關知識和性質是本題的關鍵．