Question

19、如圖，在△PAQ中，C為邊PQ上任意一點，作CB∥AQ，CD∥AP．問：
（1）四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論．
（2）你能添上一個條件，使四邊形ABCD成為菱形嗎？若不能，請說明理由；若能，證明你的結論并用尺規作圖法在圖2中作出點C的位置．

Answer 1

分析：（1）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進行判定和證明．
（2）添加的條件是AC平分∠PAQ，結合角平分線的定義，根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行證明．

解答：解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形．理由如下：
∵CB∥AQ，CD∥AP，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）能，AC平分∠PAQ，
證明：∵AC平分∠PAQ，
∴∠BAC=∠DAC，
又∵CB∥AQ，
∴∠BCA=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定和作圖等知識，屬于綜合題．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．