Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，2），O為坐標原點．設P點在第一象限，以P為圓心，半徑為1的⊙P與y軸及矩形OABC的邊BC都相切．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過O、P、A三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若⊙P與矩形OABC組合得到的圖形的面積能被一條直線l平分，求這條直線l的解析式；
（3）若點N在拋物線上，問x軸上是否存在點M，使得以M為圓心的⊙M能與△PAN的三邊PA、PN、AN所在直線都相切？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將三點坐標代入所設的解析式方程可得abc的值，進而可得解析式；
（2）連接AC、OB相交于Q，易得Q是矩形OABC的對稱中心，進而設其方程為y=kx+b，代入PQ的坐標可得答案；
（3）假設存在并設出其坐標，①⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN相切，②⊙M與△PAN的邊AP、AN的延長線相切，兩種情況討論，根據相切的性質，分析可得答案．
解答：解：（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上，
∴，
即，
所以拋物線的解析式為：y=-x²+4x．（2分）

（2）連接AC、OB相交于Q，則Q是矩形OABC的對稱中心，
∵P是⊙P的對稱中心，
∴PQ平分⊙P與矩形OABC組合得到的圖形的面積
設PQ的解析式為y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）（4分）
∴，
∴，
所以PQ解析式為y=-2x+5．（5分）

（3）假設x軸上存在點M，使得⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN所在的直線都相切，
則有如下兩種情形：
①當⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN相切時，則M是△PAN的內心．
∵M在x軸上，
∴x軸為∠PAN的平分線，
∴P（1，3）關于x軸的對稱點G（1，-3）在AN上，
所以AN的解析式為：y=x-4，
由得到N（-1，-5）（7分）
作PR⊥ox軸于R，∵PR=3=AR，
∴∠PAO=45°，
在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
∴
作NH⊥ox軸于H，因為AN的解析式為：y=x-4，
所以∠NAH=45°，
∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
∴，在Rt△NAP中，
∴Rt△NAP的內切圓⊙M的半徑，
∴，
∴，0）．（9分）
②當⊙M與△PAN的邊AP、AN的延長線相切于J、S，且與AN邊相切于R時，則M是△PAN的旁心．
由①Rt△NAP的三邊長度分別為：，，
∴NS=NR，PR=PJ，
∴旁切圓的半徑，
∴，，0）．
綜上所述：x軸上存在點M，
使得⊙M與△PAN的三邊PA、PN、AN所在的直線都相切，0）、，0）．（12分）
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．