Question

（2013•昌平區二模）（1）【原題呈現】如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站分別向A、B兩鎮供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
解決問題：請你在所給圖中畫出泵站P的位置，并保留作圖痕跡；
（2）【問題拓展】已知a＞0，b＞0，且a+b=2，寫出m=

a2+1

+

b2+4

的最小值；
（3）【問題延伸】已知a＞0，b＞0，寫出以

a2+b2

、

a2+4b2

、

4a2+b2

為邊長的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）作A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于P，連接AP，則泵站修在管道的P點處，可使所用的輸氣管線AP+BP最短；
（2）作線段MN=2，過M作MN的垂線段MA，使MA=1，過N作MN的垂線段NB，使NB=2，且A，B在MN異側，那么m表示線段MN上任意一點到A的距離與這一點到B的距離之和，根據兩點之間線段最短可知，這一點在直線AB上時，距離最小．根據勾股定理即可求出m的最小值；
（3）作一個長方形ABCD，設AB=2b，AD=2a，取AB中點E，AD中點F，連接EF，FC，CE，得△EFC，則

a2+b2

、

a2+4b2

、

4a2+b2

是這個三角形的三條邊，根據S_△CEF=S_{長方形ABCD}-S_△AEF-S_△CDF-S_△CEB即可求解．

解答：解：（1）作A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于P，連接AP，則泵站修在管道的P點處，可使所用的輸氣管線AP+BP最短．理由如下：
在直線l上任取一點E，連接AE、BE、A′E，
∵A、A′關于直線l對稱，
∴AP=A′P，
同理AE=A′E，
∵AP+BP=A′P+BP=A′B，
AE+BE=A′E+BE＞A′B，
∴AP+BP＜A′E+BE，
∵E是任意取的一點，
∴AP+BP最短；

（2）作線段MN=2，過M作MN的垂線段MA，使MA=1，過N作MN的垂線段NB，使NB=2，且A，B在MN異側，
那么m表示線段MN上任意一點到A的距離與這一點到B的距離之和，
根據兩點之間線段最短可知，這一點在直線AB上時，距離最小．
連接AB，交MN于P，則此時m的最小值為線段AB的長．
過B作AM的垂線，交AM的延長線于點C．
在Rt△ABC中，∵AC=1+2=3，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=

13

．
故m的最小值為

13

；

（3）作一個長方形ABCD，設AB=2b，AD=2a，取AB中點E，AD中點F，連接EF，FC，CE，得△EFC，
則

a2+b2

、

a2+4b2

、

4a2+b2

是這個三角形的三條邊，
S_△CEF=S_{長方形ABCD}-S_△AEF-S_△CDF-S_△CEB
=2a•2b-

1

2

•a•b-

1

2

•a•2b-

1

2

•2a•b
=4ab-

1

2

ab-ab-ab
=

3

2

ab．

點評：本題主要考查軸對稱-最短路線問題在實際中的應用，能畫出符合要求的圖形是解題的關鍵．