Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y1=ax2+bx（a≠0），與x軸正半軸交于點A1（2，0），頂點為P1 ， △OP1A1為正三角形，現將拋物線y1=ax2+bx（a≠0）沿射線OP1平移，把過點A1時的拋物線記為拋物線y2 ， 記拋物線y2與x軸的另一交點為A2；把拋物線y2繼續沿射線OP1平移，把過點A2時的拋物線記為拋物線y3 ， 記拋物線y3與x軸的另一交點為A3；…．；把拋物線y2015繼續沿射線OP1平移，把過點A2015時的拋物線記為拋物線y2016 ， 記拋物線y2016與x軸的另一交點為A2016 ， 頂點為P2016 ． 若這2016條拋物線的頂點都在射線OP1上．

（1）①求△OP1A1的面積；②求a，b的值；
（2）求拋物線y2的解析式；
（3）請直接寫出點A2016以及點P2016坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①過點P1作作P1B1⊥x軸，垂足為B1．

∵△OP1A1為正三角形，

∴∠P1OA1=60°，P1O=P1A1．

又∵P1B1⊥x軸，

∴0B1=B1A1=1．

∴P1B1=OP1× =2× = ．

∴P1（1， ），△OP1A1的面積= OA1P1B1= ×2× = ．

②∵將點A1（2，0）、P1（1， ）在拋物線y1上，

∴ ，解得：a=﹣ ，b=2

（2）

解：設直線OP1的解析式為y=kx．

∵將P1（1， ）代入得：k= ，

∴直線OP1的解析式為y= x．

∵點P2在直線OP1上，

∴設點P2（a， ）．

∴y2=﹣ （x﹣a）2+ a．

∵將點A1的坐標代入得：﹣ （2﹣a）2+ a=0，解得：a1=1（舍去），a2=4，

∴y2=﹣ （x﹣4）2+4 ，整理得：y2=﹣ x2+8 x﹣12

（3）

解：∵a2=4，

∴P2（4，4 ）．

∴點A1與D點A2關于x=4對稱，

∴點A2（6，0）．

設P3（b， ）則y3=﹣ （x﹣b）2+ b．

∵將A2（6，0）代入得﹣ （6﹣b）2+ b=0，解得：b1=4（舍去），b2=9，

∴P3（9，9 ）．

∵A2（6，0），點A2與A3關于x=9對稱，

∴A3（12，0）．

P1（1， ），A1（2，0），

P2（4，4 ），A2（6，0），4=22，6=2×3；

P3（9，9 ），A3（12，0），9=32，12=3×4；

…

P2016（4064256，4064256 ），A2016（4066272，0）

【解析】（1）①過點P1作作P1B1⊥x軸，垂足為B1 ． 由等邊三角形的性質可知可求得P1B1的長度，然后依據三角形的面積公式可求得△OP1A1的面積；②將點A1（2，0）、P1（1， ）代入拋物線的解析式，即可求得a、b的值；（2）先利用待定系數法求得直線OP1的解析式，然后設點P2（a， ）．則y2=﹣ （x﹣a）2+ a，接下來，將點A1的坐標代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；（3）由a2=4，可求得點P2（4，4 ），然后依據拋物線的對稱性可求得點A2（6，0），接下來，再求得P3（9，9 ），A3（12，0），最后觀察所得結果找出其中的規律，依據規律可求得問題的答案．
【考點精析】通過靈活運用數與式的規律，掌握先從圖形上尋找規律，然后驗證規律，應用規律，即數形結合尋找規律即可以解答此題．