Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點O．
（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；
（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R．四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積．

Answer 1

分析：（1）利用平移的知識可得四邊形ABCE是平行四邊形，進而根據AB=BC可得該四邊形為菱形；
（2）利用證明三角形全等可得四邊形PQED的面積為三角形BED的面積，所以不會改變；進而利用三角形的面積公式求解即可．

解答：解：（1）四邊形ABCE是菱形，證明如下：
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，（2分）
又∵AB=BC，
∴四邊形ABCE是菱形．（4分）

（2）由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，
∴S_△PBO=S_△QEO（7分）
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED=AC=6，
又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，（8分）
∴S_{四邊形PQED}=S_△QEO+S_{四邊形POED}=S_△PBO+S_{四邊形POED}=S_△BED
=

1

2

×BE×ED=

1

2

×8×6=24．（10分）

點評：考查菱形的判定及相關性質；把不規則圖形的面積轉化為較簡單的規則圖形的面積是解決本題的關鍵．