Question

（10分）求證：如果一個五邊形有一個外接圓和一個內切圓，那么這個五邊形是正五邊形。

如圖，已知在⊙O與小⊙O分別是五邊形ABCDE的外接圓和內切圓，AB、BC、CD、DE、EA分別切小⊙O于A¢、B¢、C¢、D¢、E¢，

求證：五邊形ABCDE是正五邊形。

 

Answer 1

答案：
解析：

證：連接OA¢、OB¢、OC¢、OD¢、OE¢。∵ 小圓O是五邊形ABCDE的內切圓，切點分別為A¢B¢C¢D¢E¢，∴ OA¢^AB，OB¢^BC，…，且OA¢=OB¢=OC¢=…，連結OB，則RtDA¢OB≌RtDB¢OB，∴ A¢B=B¢B，∴ AB=BC，同理AB=AE=ED=DC=BC， ∴ ∴ A、B、C、D、E是大⊙O的五等分點，∴ 五邊形ABCDE是正五邊形。