Question

如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F．另一邊交CB的延長線于點G．

（1）求證：EF=EG；
（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：
（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經過點B，其他條件不變，若AB=a、BC=b，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性質，可利用ASA證得Rt△FED≌Rt△GEB，則問題得證；
（2）首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、P，然后利用ASA證得Rt△FEI≌Rt△GEH，則問題得證；
（3）首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有兩角對應相等的三角形相似，證得△GME∽△FNE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
解答：（1）證明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，
，
∴Rt△FED≌Rt△GEB，
∴EF=EG；

（2）解：成立．
證明：如圖，過點E作EH⊥BC于H，過點E作EP⊥CD于P，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四邊形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴Rt△FEP≌Rt△GEH，
∴EF=EG；

（3）解：如圖，過點E作EM⊥BC于M，過點E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，
則∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴，，
∴，即==，
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴，
∴．
點評：此題考查了正方形，矩形的性質，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質．此題綜合性較強，注意數形結合思想的應用．