Question

課題：兩個重疊的正多形，其中的一個繞某一頂點旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題．
實驗與論證：
設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A₁A₀B₁=α（α＜∠A₁A₀A₂），θ₃、θ₄、θ₅、θ₆所表示的角如圖所示．

（1）用含α的式子表示解的度數(shù)：θ₃=

 

，θ₄=

 

，θ₅=

 

；
（2）圖1-圖4中，連接A₀H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A₀H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇其中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；
歸納與猜想：
設(shè)正n邊形A₀A₁A₂…A_n-1與正n邊形A₀B₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁與B₁重合），現(xiàn)將正邊形A₀B₁B₂…B_n-1繞頂點A₀逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜

180

n

°）；
（3）設(shè)θ_n與上述“θ₃、θ₄、…”的意義一樣，請直接寫出θ_n的度數(shù)；
（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線A₀H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應(yīng)的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的性質(zhì)得α+θ₃=60°，再由正方形的性質(zhì)得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五邊形的性質(zhì)得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在圖1中直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₁，△A₀A₁A₂≌△A₀B₁B₂，推得A₂H=B₁H，則點H在線段A₂B₁的垂直平分線上；由A₀A₂=A₀B₁，則點A0在線段A₂B₁的垂直平分線上，從而得出直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₁
（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，θ_n=

180°

n

-α；
當(dāng)n為偶數(shù)時，θ_n=α
（4）多寫幾個總結(jié)規(guī)律：
當(dāng)n為奇數(shù)時，直線A₀H垂直平分A

n+1

2

B

n-1

2

，
當(dāng)n為偶數(shù)時，直線A₀H垂直平分A

n

2

B

n

2

解答：解：（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所選圖形的不同分別給出證明：
選圖如，圖中有直線A₀H垂直平分A₂B₁，證明如下：
方法一：
證明：∵△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是全等的等邊三角形
∴A₀A₂=A₀B₁
∴∠A₀A₂B₁=∠A₀B₁A₂
又∠A₀A₂H=∠A₀B₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，∴點H在線段A₂B₁的垂直平分線上
又∵A₀A₂=A₀B₁，∴點A0在線段A₂B₁的垂直平分線上
∴直線A₀H垂直平分A₂B₁
方法二：
證明：∵△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是全等的等邊三角形
∴A₀A₂=A₀B₂
∴∠A₀A₂B₁=∠A₀B₁A₂
又∠A₀A₂H=∠A₀B₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，
在△A₀A₂H與△A₀B₁H中
∵A₀A₂=A₀B₁，
HA₂=HB₁，∠A0A₂H=∠A₀B₁H
∴△A₀A₂H≌△A₀B₁H
∴∠A₀A₂H=∠B₁A₂H
∴A₀H是等腰三角形A₀A₂B₁的角平分線，
∴直線A₀H垂直平分A₂B₁選圖如，圖中有直線A₀H垂直平分A₂B₂，證明如下：
∵A₀B₂=A₀A₂∴∠A₀B₂A₂=∠A₀A₂B₂
又∵∠A₀B₂B₁=∠A₀A₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴點H在線段A₂B₂的垂直平分線上
又∵A₀B₂=A₀A₂，∴點A₀在線段A₂B₂的垂直平分線上
∴直線A₀H垂直平分A₂B₂

（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，θ_n=

180°

n

-α；
當(dāng)n為偶數(shù)時，θ_n=α．

（4）存在．
當(dāng)n為奇數(shù)時，直線A₀H垂直平分A

n+1

2

B

n-1

2

，
當(dāng)n為偶數(shù)時，直線A₀H垂直平分A

n

2

B

n

2

點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．