Question

如圖，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（1，3），把矩形繞點B旋轉一定的角度，使它的頂點O落在x軸的點D處，已知M是第四象限內縱坐標為-1的點，以M為頂點的拋物線正好過O、D兩點．
（1）求點D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點N，使以O、M、N為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB、OD，根據對稱性可知點O、D關于點A對稱，根據點B的坐標可得點A的坐標，然后即可求解；
（2）根據點O、D的坐標求出對稱軸的解析式為x=1，然后得到頂點坐標，再設出頂點式解析式，利用待定系數法求解即可；
（3）先根據點M的坐標求出△AOM是等腰直角三角形，所以分①∠AMN=45°時，求出直線MN的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到點N的坐標，②∠AON=45°時，求出直線ON的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到點N的坐標，從而得解．
解答：解：（1）如圖，連接OB、BD，根據題意可得，點O、D關于點A對稱，
∵點B的坐標為（1，3），
∴點A的坐標為（1，0）
∴點D的坐標為（2，0）；

（2）∵拋物線過點O、D，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∴頂點M的坐標為（1，-1），
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-1，
∴a（0-1）²-1=0，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-1=x²-2x+1-1=x²-2x，
即y=x²-2x；

（3）如圖，∵點M的坐標為（1，-1），
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴∠AOM=∠AMO=45°，
①當∠AMN=45°時，則∠AMN=45°，
設直線MN的解析式為y=x+b₁，
則1+b₁=-1，
解得b₁=-2，
∴直線MN的解析式為y=x-2，
∴，
解得（為點M的坐標，舍去），，
∴點M的坐標為（2，0），
②∠AON=45°時，則∠AON=45°，
設直線MN的解析式為y=x，
則，
解得（為坐標原點，舍去），，
∴點N的坐標為（3，3），
綜上所述，點N的坐標為（2，0）或（3，3）．
點評：本題綜合考查了二次函數的性質，坐標與圖形的性質，待定系數法求二次函數解析式，直角三角形的性質，以及函數圖象交點的求解方法，求出頂點M的坐標是解答本題關鍵．