Question

如圖，AB和CD都是⊙O的直徑，E為OB的中點，若AB=4，AC=2

3

．
（1）求證：△OBC為正三角形；
（2）求

BC

的長度；
（3）求圖中陰影部分的面積．（面積結果保留3個有效數字）

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，再根據AB=4，AC=2

3

，可得sinB=

3

2

，則∠B=60°，即可得到△OBC為正三角形；
（2）直接根據扇形的面積公式：S=

nπR2

360

計算即可；
（3）過D作DF⊥AB，F為垂足，連DB，則DF=OD•sin60°=2×

3

2

=

3

，而E為OB的中點，所以OE=1，得到S_△DOE=

1

2

×OE×DF=

1

2

×1×

3

=

3

2

，所以S_陰影部分=S_扇形ODB-S_△DOE，扇形的面積根據S=

nπR2

360

計算．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=4，AC=2

3

，
∴sinB=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠B=60°，
而OB=OC，
所以△OBC為正三角形；

（2）解：∵直徑AB=4，
∴OB=2，
又∵∠BOC=60°，
∴

BC

的長度=

60π×2

180

=

2π

3

；

（3）解：過D作DF⊥AB，F為垂足，連DB，如圖，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOD=60°，∠BOD=120°，
∴DF=OD•sin60°=2×

3

2

=

3

，而E為OB的中點，所以OE=1，
∴S_△DOE=

1

2

×OE×DF=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_陰影部分=S_扇形ODB-S_△DOE=

120π×22

360

-

3

2

=

4π

3

-

3

2

≈3.32．

點評：本題考查了扇形的面積公式：S=

nπR2

360

，其中n為扇形的圓心角的度數，R為圓的半徑），或S=

1

2

lR，l為扇形的弧長，R為半徑．同時也考查了三角函數的知識以及等邊三角形的判定、三角形的面積公式．