Question

如圖，直線AB過點A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函數y=

m

x

的圖象與AB交于C、D兩點．P為雙曲線y=

m

x

上任一點，過P作PQ⊥x軸于Q，PR⊥y軸于R．請分別按（1）、（2）、（3）各自的要求解答問題．
（1）若m+n=10，n為何值時△AOB面積最大，最大值是多少？
（2）若S_△AOC=S_△COD=S_△DOB，求n的值；
（3）在（2）的條件下，過O、D、C三點作拋物線，當該拋物線的對稱軸為x=1時，矩形PROQ的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）已知了m+n=10，則m=10-n，根據三角形的面積公式即可得出關于S，n的函數關系式，根據函數的性質即可得出S的最大值及對應的n的值．
（2）可根據A、B的坐標求出直線AB的解析式，然后聯立反比例函數的解析式得出C、D兩點的橫坐標，根據等高的三角形的面積比等于底邊比以及S_△AOC=S_△COD=S_△DOB，可得出C、D為AB的三等分點，因此C的橫坐標為D的橫坐標的2倍，由此可求出n的值．
（3）本題的關鍵是求出m的值，可根據C得到n的值表示出C、D的坐標，已知了拋物線的對稱軸為x=1，因此拋物線與x軸的另一交點坐標為（2，0），然后將C、D坐標代入拋物線中，即可求得m的值．而矩形的面積實際是P點橫坐標與縱坐標的積，也就是m的值．

解答：解：（1）∵S△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

m•n，
又∵m+n=10，∴S△AOB=

1

2

(10-n)•n=-

1

2

n2+5n
∴S△AOB=-

1

2

(n-5)2+

25

2

．
∴n=5時，△AOB面積最大，最大值為

25

2

．

（2）分別過D，C作y軸平行線與x軸交于M，N兩點，則DM⊥x軸，CN⊥x軸．
由已知得△OBD，△ODC，△OCA等高等底．
∴BD=CD=CA．
又∵BO∥DM∥CN，
∴OM=MN=NA=

1

3

OA．∴D點的橫坐標為

1

3

m．
又∵點D在函數y=

m

x

的圖象上，
∴點D縱坐標為

m

1 3 m

=3．∴點D坐標為(

1

3

m，3)．
同樣可求得C點坐標為(

2

3

m，

3

2

)．
設直線AB解析式為y=kx+b（k≠0），
把A，B兩點坐標代入，得

km+b=0 b=n.

解得

k=- n m b=n.

∴直線AB解析式為y=-

n

m

x+n．
把D點坐標代入，得-

n

m

•

1

3

m+n=3．
∵m≠0，
∴-

1

3

n+n=3．∴n=

9

2

．

（3）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把O，D，C三點坐標分別代入，得

c=0 1 9 m2a+ 1 3 mb+c=3 4 9 m2a+ 2 3 mb+c= 3 2 .

解得a=-

81

4m2

，b=

63

4m

，c=0．
∴拋物線解析式為y=-

81

4m2

x2+

63

4m

x．
由已知，得-

63 4m

2×(- 81 4m2 )

=1．
解得m=

18

7

或m=0（不合題意，舍去）．
設P點坐標為（a，b），
∵點P在雙曲線y=

m

x

上，則b=

m

a

．即ab=m．
∴S矩形PQOK=PQ•PR=|a||b|=|m|=

18

7

．

點評：本題為二次函數綜合題，考查了圖形面積的求法、反比例函數、一次函數和二次函數的綜合應用、函數圖象交點等知識．