Question

【題目】已知：如圖1，我們在2016年7月的日歷中標出一個十字星，并計算它的“十字差”（將十字星左右兩數，上下兩數分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”）．該十字星的十字差為12×14﹣6×20=48，再選擇其它位置的十字星，可以發現“十字差”仍為48．
（1）如圖2，將正整數依次填入5列的長方形數表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發現相應的“十字差”也是一個定值，則這個定值為 ．
（2）若將正整數依次填入6列的長方形數表中，不同位置十字星的“十字差”是一個定值嗎？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
（3）若將正整數依次填入k列的長方形數表中（k≥3），繼續前面的探究，可以發現相應“十字差”為與列數k有關的定值，請用k表示出這個定值，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）24
（2）解：是，這個定值是35；

設十字星中心的數為x，則十字星左右兩數分別為x﹣1，x+1，

上下兩數分別為x﹣6，x+6，

十字差為（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣6）（x+6）=x2﹣1﹣x2+36=35

（3）解：定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；

證明：設十字星中心的數為x，則十字星左右兩數分別為x﹣1，x+1，上下兩數分別為x﹣k，x+k（k≥3），

十字差為（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，

故這個定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1）

【解析】解：（1）根據題意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；所以答案是：24．