Question

把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF的長均為4。

（1）當(dāng)EG⊥AC于點(diǎn)K，GF⊥BC于點(diǎn)H時，如圖23-1，求GH:GK的值.

(2)現(xiàn)將三角板EFG由圖23-1所示的位置繞O點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角滿足條件:

0°<<30°,如圖23-2,EG交AC于點(diǎn)K,GF交BC于點(diǎn)H,GH:GK的值是否改變?證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）證明略

【解析】（1）解：∵GE⊥AC于 K，GF⊥BC于H,

            ∴∠AKG =∠GHB =90°

∵∠ACB =90°

∴GK∥BC……………………………(1分)

∴∠AGK =∠B =30°………………(2分)

∵G與AB的中點(diǎn)O重合

∴AG = GB

∴△AKG≌△GHB……………………(3分)

∴KG = HB……………………………(4分)

在Rt△GHB中，tan∠B =…(5分)

∴……………………………(6分)

(2)GH：GK的值不改變。………………………(7分)

證明：過點(diǎn)G作GP⊥AC于點(diǎn)P，GQ⊥BC于點(diǎn)Q，

∵∠C = 90°

∴四邊形PCQG是矩形……………………(8分)

∴∠PGK+∠KGO = 90°

∵∠EGF = 90°

∴∠HGQ+∠KGQ = 90°

∴∠PGK = ∠HGQ ………………………(9分)

∵∠GPK =∠GQH = 90°

∴△PGK∽△QGH…………………………(10分)

∴ 由(1)可得：…… (11分)

∴………………………………(12分)