Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，DC=BC，E是梯形內一點，F是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，
（1）證明：CE⊥CF；
（2）當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠EBF的值．

Answer 1

分析：（1）由已知條件易證△DEC≌△BFC，由∠ECD，∠BCF都和∠BCE互余，即證CE⊥CF；
（2）連接EF，由（1）易得△CEF為等腰直角三角形，∠BEF=90°，設BE=k，用k分別表示EF，BF，則在直角三角形BEF中，即可求sin∠EBF的值．

解答：（1）證明：∵∠EDC=∠FBC，DE=BF，DC=BC
∴△DEC≌△BFC（2分）
∴∠ECD=∠FCB（3分）
∵∠BCD=90°
∴∠ECD+∠BCE=90°，
∴∠FCB+∠BCE=90°
∴CE⊥CF；（5分）

（2）解：連接EF，由（1）得：△DEC≌△BFC，∴CE=CF
又CE⊥CF，∴∠CEF=45°（6分）
又∠BEC=135°，∴∠BEF=90°（7分）
由∵BE：CE=1：2，
∴設BE=k，CE=2k，∴EF=2

2

 k
∴BF=

BE2+BF2

=3k（9分）
∴sin∠EBF=

EF

BF

=

2 2

3

．（10分）

點評：本題考查了全等三角形的判定，直角三角形的性質以及三角函數和勾股定理的綜合運算．