Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA＝5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C.

(1)試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；

(2)若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5

【解析】

（1）連接，根據切線的性質和垂直得出，推出，求出，根據等腰三角形的判定推出即可；

（2）根據已知得出在的垂直平分線上，作出線段的垂直平分線，作，求出，求出范圍，再根據相離得出，即可得出答案.

(1)AB＝AC，理由如下：

如圖1，連結OB.

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA＝∠OAC＝90°，

∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，

∵OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB，

∵∠OPB＝∠APC，

∴∠ACP＝∠ABC，

∴AB＝AC；　

(2)如圖2，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出；

又∵圓O與直線MN有交點，

∴，

，

，

r2≥5，

∴，

又∵圓O與直線l相離，

∴r<5，

即.

圖1 2