Question

33、已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC=5．
（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？
（2）k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求此時△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）先解方程可得x₁=k+1，x₂=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜邊，那么有（k+1）²+（k+2）²=5²，易求k，結合實際意義可求k的值；
（2）由（1）得x₁=k+1，x₂=k+2，若△ABC是等腰三角形，則x₁=BC或x₂=BC，易求k=4或3，再分兩種情況求周長．

解答：解：（1）根據題意得
[x-（k+1）][x-（k+2）]=0，
解得，x₁=k+1，x₂=k+2，
若△ABC是直角三角形，且BC是斜邊，
那么有（k+1）²+（k+2）²=5²，
解得k₁=2，k₂=-5（不合題意舍去），
∴k=2；
（2）根據（1）得
x₁=k+1，x₂=k+2，
若△ABC是等腰三角形，則x₁=BC或x₂=BC，
即k+1=5或k+2=5，
解得k=4或k=3，
當k=4時，k+1=5，k+2=6，△ABC的周長=5+5+6=16；
當k=3時，k+1=4，k+2=5，△ABC的周長=5+5+4=14．

點評：本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定、解方程．解題的關鍵是注意分情況討論．