Question

如圖，已知正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP．
（1）若正方形邊長為4，求AP的長；
（2）求證：∠DAQ=45°-∠BAP．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形性質以及DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，得出PC=x，則BP=4-x，AP=4+x，進而利用勾股定理求出即可；
（2）利用全等三角形的判定與性質首先得出△ADQ≌△MCQ，即可求出AD=CM，∠DAM=∠AMP，再利用等腰三角形的性質得出∠PAM=∠AMP，利用∠DAP=90°-∠BAP即可求出．
解答：（1）解：∵正方形ABCD中，DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，
∴設PC=x，則BP=4-x，AP=4+x，
在Rt△ABP中，
∵AB ²+BP ²=AP ²，
∴4 ²+（4-x）²=（4+x）²，
解得：x=1，
則BP=3，
AP=4+1=5；

（2）證明：延長AQ交BC的延長線于M，
在△ADQ和△MCQ中，
∵，
∴△ADQ≌△MCQ（ASA），
∴AD=CM，∠DAM=∠AMP，
∵AP=CD+CP，
∴AP=PM，
∴∠PAM=∠AMP，
∴∠DAM=∠PAM，
∵∠DAP=90°-∠BAP，
∴2∠DAQ=90°-∠BAP，
∴∠DAQ=45°-∠BAP．
點評：此題主要考查了正方形的性質以及利用全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，利用已知正確作出輔助線延長AQ交BC的延長線于M是解題關鍵．