Question

已知m、n是關于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的兩實根，那么m²+n²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用根與系數的關系可知：m+n=-2a，mn=a²+4a-2，則m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2（a²+4a-2）=2a²-8a+4=2（a-2）²-4，此題還需考慮有實數根時a的取值范圍，所以利用根的判別式求出a的取值范圍，再利用二次函數的性質綜合考慮求最小值則可．

解答：解：∵△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0，
∴a≤

1

2

又∵x₁+x₂=-2a，x₁x₂=a²+4a-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4，
根據二次函數的性質，a＜2時，函數值隨a的增大而減小，
∴當a=

1

2

時，m²+n²的值最小，
此時

x

2 1

+

x

2 2

=2(

1

2

-2)2-4=

1

2

，即最小值為

1

2

．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系．注意還需考慮有實數根時a的取值范圍，這是本題最易漏掉的條件．解此類題目要把代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式．