Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，將△BCD沿BD折疊為△BED，連接AE．
（1）求證：四邊形ABDE是等腰梯形；
（2）若∠BDC=60°，BC=6，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由矩形及折疊的性質得出∠ODB=∠OBD，則OB=OD，易得OA=OE，則在等腰△OAE與等腰△OBD中，有一對對頂角相等，可得∠OAE=∠ODB，證得AE∥BD，又由AB=DE，則可得四邊形ABDE是等腰梯形；
（2）先根據Rt△BCD中∠BDC=60°，BC=6求出CD及BD的長，再由圖形反折變換的性質得出∠CBD=∠DBK
，故可得出∠ABK的度數，根據銳角三角函數的定義可求出AK的長度，由（1）可知四邊形ABDE是等腰梯形，所以AK=EK，BK=DK，△AKB∽△BKD，根據相似三角形的對應邊成比例即可求出AE的長．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC，
∵∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OB=OD，
∵AD=BC=BE，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠OAE=∠ODB，
∴AE∥BD，
∵AB=CD=DE，
∴四邊形ABDE是等腰梯形；

（2）∵Rt△BCD中∠BDC=60°，BC=6，
∴∠DBC=30°，CD===2，BD=2CD=4，
∵△BED由△BCD反折而成，
∴∠CBD=∠DBK=30°，
∴∠ABK=30°，
在Rt△ABK中，
∵∠ABK=30°，AB=CD=2，
∴AK=AB•tan30°=2×=2，
∴DK=AD-AK=6-2=4，
∵由（1）可知四邊形ABDE是等腰梯形，
∴AK=EK，BK=DK，△AKB∽△BKD，
∴=，即=，解得AE=2．
點評：本題考查的是等腰梯形的判定與性質，熟知等腰梯形的判定與性質、矩形的性質及相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．