Question

如圖，長方形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連結OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在點A′處，A′B與y軸交于點F，且知OA=1，AB=2．
（1）分別求出OF的長度和點A′坐標；
（2）設過點B的雙曲線為：y=（x＞0），則k=______；
（3）直線A′C交雙曲線y=于點P，求△OBP的面積是多少？

Answer 1

解：（1）∵由折疊的性質可知，△OAB≌△OA′B，
∴OA′=OA=1，BA′=BA=2，
∴∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，
∵AB∥OC，
∴∠OBA=∠COB，
∴∠COB=∠OBA′，
∴FB=FO，
設FB=FO=x，則A′F=2-x，
在Rt△OA′F中，OA′²+A′F²=OF²，即1²+（2-x）²=x²，解得x=，
∴OF=，則A′F=，過點A′作A′E⊥OC于點E，
S_△OA′F=OA•A′F=OF•A′E=×1×=××A′E，解得，A′E=，
在Rt△OA′E中，OE²+A′E²=OA′²，即OE²+（）²=1²，
解得，OE=或OE=0（舍去），
∴A′（-，）；

（2）∵OA=1，AB=2，
∴B（1，2），
∴2=，即k=2
∴反比例函數的解析式為；y=；

（3）作直線A′C，
∵OC=BA，BA′=BA，
∴OC=BA′，
∵FB=FO，
∴FC=FA′，
∴∠FA′C=∠FCA′=，
同理，∠FOB=∠FBO=，
∴∠A′CF=∠FOB，
∴A′C∥OB，
∴△OPB的邊OB上的高和△OBC的邊OB上的高相等，
∴S_△OBP=S_△OBC=OB•OC=×1×2=1．
分析：（1）由圖形折疊的性質可知△OAB≌△OA′B，根據全等三角形的性質可知OA′=OA，BA′=BA，∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB，∠COB=∠OBA′，故FB=FO，
設FB=FO=x，則A′F=2-x，在Rt△OA′F中，根據勾股定理可得出OF，A′F的長，過點A′作A′E⊥OC于點E，根據S_△OA′F=OA•A′F=OF•A′E可得出A′E的長，同理，在Rt△OA′E中根據勾股定理可得出OE的長，故可得出點A′的坐標；
（2）由OA=1，AB=2可得出B點坐標，把B點坐標代入反比例y=即可求出k的值，故可得出其解析式；
（3）作直線A′C，根據OC=BA，BA′=BA可知OC=BA′，再由FB=FO可知FC=FA′，由等腰三角形的性質可知∠FA′C=∠FCA′=，同理，∠FOB=∠FBO=，故∠A′CF=∠FOB，A′C∥OB，△OPB的邊OB上的高和△OBC的邊OB上的高相等，再根據S_△OBP=S_△OBC=OB•OC即可得出結論．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到用待定系數法求反比例函數的解析式，圖形反折變換的性質、等腰三角形的性質等知識，難度較大．