Question

如圖（1），正方形ABCD的邊長為8，點M、N分別為邊AD、BC的中點．現有動點E沿N→B→A以每秒1個單位的速度運動，同時動點F沿C→D→M以相同速度運動．
（1）求在運動過程中形成的△CEF的面積S與運動的時間t之間的函數關系，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）何時點E、F與正方形的某一個頂點恰好連成一個等腰三角形，請寫出此時t的值；
（3）如圖（2），當點F從C向D運動時，連接FN，作FN的垂線交直線DA于點G，點P為GN的中點，連接PM、MF、PF．當△PMF的面積為12時，求對應的t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分三種情況：當0≤t≤4時；當4≤t≤8時；當8≤t≤12時；根據圖形的面積公式得出△CEF的面積S與運動的時間t之間的函數關系；
（2）分三種情況：當0≤t≤4時；當4≤t≤8時；當8≤t≤12時；根據等腰三角形的性質即可求得t的值；
（3）先根據S_△PMF=S_矩形MNCD+S_△PMN-S_△NCF-S_△MDF-S_△PNF列出代數式，再根據△PMF的面積為12，求對應的t值．
解答：解：（1）當0≤t≤4時，；
當4＜t≤8時，S=4t；
當8＜t≤12時，．

（2）當0≤t≤4時，當t=時，EF=DF；當t=4時，EF=AF；
當4＜t≤8時，當t=8時，EF=EC；
當8＜t≤12時，當t=時，EF=FC；當t=時，EF=EB；
∴t=或4或8或或．

（3）S_△PMF=S_矩形MNCD+S_△PMN-S_△NCF-S_△MDF-S_△PNF
=
=，
令=12，
解得t=．
點評：考查了相似形綜合題，涉及到圖形的面積計算，等腰三角形的性質，函數思想好分類思想，（3）也可利用S_△PMF=S_△PMN+S_△FMN-S_△PNF來計算．