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將一張矩形紙片沿兩條較長邊的中點所在直線對折，如果得到的兩個矩形都和原矩形相似，那么原來矩形較長的邊與較短的邊的比為．

【答案】分析：表示出對折后的矩形的長和寬，再根據相似矩形對應邊成比例列出比例式，然后求解．
解答：

解：設原來矩形的長為x，寬為y，
則對折后的矩形的長為y，寬為

，
∵得到的兩個矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：

，
解得x：y=

：1．
點評：本題主要利用相似多邊形對應邊成比例的性質，需要熟練掌握．

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將一張矩形紙片沿對角線剪開（如圖1），得到兩張三角形紙片△ABC、△DEF（如圖2），量得他們的斜邊長為6cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，且點A、C、E、F在同一條直線上，點C與點E重合．△ABC保持不動，OB為△ABC的中線．現對△DEF紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決．
（1）將圖3中的△DEF沿CA向右平移，直到兩個三角形完全重合為止．設平移距離CE為x（即CE的長），求平移過程中，△DEF與△BOC重疊部分的面積S與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（2）△DEF平移到E與O重合時（如圖4），將△DEF繞點O順時針旋轉，旋轉過程中△DEF的斜邊EF交△ABC的BC邊于G，求點C、O、G構成等腰三角形時，△OCG的面積；
（3）在（2）的旋轉過程中，△DEF的邊EF、DE分別交線段BC于點G、H（不與端點重合）．求旋轉角∠COG為多少度時，線段BH、GH、CG之間滿足GH²+BH²=CG²，請說明理由．

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．

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