Question

（2008•黃石）若實數a，b滿足a+b²=1，則2a²+7b²的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據a+b²=1求出a的取值范圍，再把代數式變形，然后結合結合函數的性質及b的取值范圍求得結果．
解答：解：∵a+b²=1，
∴a=1-b²
∴2a²+7b²=2（1-b²）²+7b²=2b⁴+3b²+2=2（b²+）²+2-=2（b²+）²+，
∵b²≥0，
∴2（b²+）²+＞0，
∴當b²=0，即b=0時，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b²=1，
∴b²=1-a，
∴2a²+7b²=2a²+7（1-a）=2a²-7a+7=2（a-）²+，
∵b²≥0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
∴當a=1，即b=0時，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．
點評：此題比較復雜，是中學階段的難點，綜合性比較強，解答此題的關鍵是先求出b的取值范圍，再把已知代數式變形后代入未知，把求代數式的最小值轉化為求函數式的最小值，結合函數的性質及b的取值范圍解答．