Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，且.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點，使得的周長最小？若存在，請求出點的坐標：若不存在，請說明理由.注：二次函數的對稱軸是直線.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在，P坐標為時，周長最小.

【解析】

（1）根據OC=3，可知c=3，于是得到拋物線的解析式為y=-x2+bx+3，然后將A（-1，0）代入解析式即可求出b的值，從而得到拋物線的解析式；（2）由于BD為定值，則△BDP的周長最小，即BP+DP最小，由于點C和點D關于對稱軸對稱，∴連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時點P即為所求．

(1)∵

∴A（-1,0），C(0,3)

∴，拋物線

將代入得，

；

(2)存在，理由如下：

如圖：的對稱軸為

由于點A和點B關于對稱軸對稱

∴由對稱性可知

由于B(0,3),D(2,3)，所以根據勾股定理可知BD為定值，則BP+DP最小時，△BDP的周長最小，

由∵C(0,3),D(2,3)

∴C、D兩點關于拋物線對稱軸對稱，即連接BC交直線x=1為點P，此時△BDP的周長最小.

設

把代入得

令得

點P坐標為時，最小，即周長最小.