Question

（本小題滿分6分）
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O為BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊和BC邊分別交于點D、點E，連接CD，且CD=CA，BD=，tan∠ADC=2．

【小題1】（1）求證：CD是半圓O的切線
【小題2】（2）求半圓O的直徑；
【小題3】（3）求AD的長.

Answer 1

【小題1】（1）證明：如圖，連接OD，
∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.
∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A.
在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADC＋∠2＝90°. ∴∠CDO＝90°.
∵OD為半圓O的半徑，
∴CD為半圓O的切線.
【小題2】（2）解：如圖，連接DE.
∵BE為半圓O的直徑，
∴∠EDB＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.
∴∠ADC＝∠3.
∴.
∴.
∴.
【小題3】（3）解：作CF⊥AD于點F，∴AF＝DF.
設，
∵，∴CF＝2x.
∵∠1＋∠FCB＝90°，
∴.
∴. ∴FB＝4x.
∴BD＝3 x＝. 解得.
∴AD＝2DF＝2x＝

解析