Question

【題目】如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．
（1）求證：CA是圓的切線；
（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC= ，tan∠AEC= ，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC是直徑，

∴∠BDC=90°，

∴∠ABC+∠DCB=90°，

∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線

（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC= ，

∴ = ，

EC= AC，

在Rt△ABC中，tan∠ABC= ，

∴ = ，

BC= AC，

∵BC﹣EC=BE，BE=6，

∴ ，

解得：AC= ，

∴BC= × =10，

答：圓的直徑是10

【解析】（1）根據圓周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判斷CA是圓的切線；（2）根據銳角三角函數的定義得到tan∠AEC= ，tan∠ABC= ，推出AC= EC，BC= AC，代入BC﹣EC=BE即可求出AC，進一步求出BC即可．