Question

某校一間宿舍里住有若干位學生，其中一人擔任舍長．元旦時，該宿舍里的每位學生互贈一張賀卡，并且每人又贈給宿舍樓的每位管理員一張賀卡，每位宿舍管理員也回贈舍長一張賀卡，這樣共用去了51張賀卡．問這間宿舍里住有多少位學生．

Answer 1

設有x個學生，y個管理員．
該宿舍每位學生與贈一張賀卡，那么每個人收到的賀卡就是x-1張，那么總共就用去了x（x-1）張賀卡；
每個人又贈給每一位管理員一張賀卡，那么就用去了xy張賀卡；
每位管理員也回贈舍長一張賀卡，那么就用去了y張賀卡；
∴x（x-1）+xy+y=51，
∴51=x（x-1）+xy+y=x（x-1）+y（x+1）≥x（x-1）+x+1=x²+1（當y=1時取“=”），
解得，x≤7；
x（x-1）+（x+1）y=51
∵51是奇數，而x和x-1中，有一個是偶數，
∴x（x-1）是偶數，
∴（x+1）y是奇數，
∴x是偶數，
而x≤7，所以x只有2 4 6三種情況；
當x=2時，y=

49

3

（不是整數，舍去）；
當x=4時，y=

39

5

（不是整數，舍去）；
當x=6時，y=3．
所以這個宿舍有6個學生．