Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圓心為點C（-1，0），半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于E點，則△ABE面積的最小值是（ ）

A．2
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由于OA的長為定值，若△ABE的面積最小，則BE的長最短，此時AD與⊙相切；可連接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的長，即可得到△ADC的面積；易證得△AEO∽△ACD，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△AOE的面積，進而可得出△AOB和△AOE的面積差，由此得解．
解答：解：若△ABE的面積最小，則AD與⊙C相切，連接CD，則CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2；
∴S_△ACD=AD•CD=；
易證得△AOE∽△ADC，
∴=（）²=（）²=，
即S_△AOE=S_△ADC=；
∴S_△ABE=S_△AOB-S_△AOE=×2×2-=2-；
故選D．
點評：此題主要考查了切線的性質、相似三角形的性質、三角形面積的求法等知識；能夠正確的判斷出△BE面積最小時AD與⊙C的位置關系是解答此題的關鍵．