Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E為BC上一點，將紙片沿AE翻折，使點E與CD邊上的點F重合．
（1）求線段EF的長；
（2）若線段AF上有動點P（不與A、F重合），如圖（2），點P自點A沿AF方向向點F運動，過點P作PM∥EF，PM交AE于M，連接MF，設AP=x（cm），△PMF的面積為y（cm）²，求y與x的函數關系式；
（3）在題（2）的條件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據折疊的性質知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF²=CF²+CE²，即EF²=4²+（8-EF）²，解得EF=5cm；

（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴，即，PM=；
在Rt△PMF中，PM=，PF=10-x；
則S_△PMF=（10-x）•=-x²+x；（0＜x＜10）

（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF==；
同理可求得AE==5，AM==x；
∴ME=5-x；
若△FME能否是等腰三角形，則有：
①MF=ME，則MF²=ME²，即：
x²-20x+100=（5-x）²，解得x=5；
②MF=EF，則MF²=EF²，即：
x²-20x+100=25，化簡得：x²-16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，則有：
5-x=5，解得x=10-2；
綜上可知：當AP的長為5cm或6cm或（10-2）cm時，△FME是等腰三角形．
分析：（1）根據折疊的性質知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根據勾股定理求出DF的長，進而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根據折疊的性質知BE=EF，可用EF表示出CE，進而由勾股定理求出EF的長；
（2）由于PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此PM⊥AF；在（1）中已經求得AF、EF的長，易證得△APM∽△AFE，根據相似三角形所得比例線段即可求得PM的表達式；知道了Rt△PMF兩條直角邊的長，即可求出其面積，由此可得到關于y、x的函數關系式；
（3）在Rt△PMF中，根據PM、MF的表達式，即可由勾股定理求得MF的表達式；若△FME是等腰三角形，則可能有三種情況：①MF=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根據上述三種情況所得不同等量關系求出x的值．
點評：此題考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、相似三角形的判定和性質、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知識點，在等腰三角形的腰和底不明確的情況下，一定要分類討論，以免漏解．