Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點坐標為，直線與二次函數的圖象交于，兩點，其中點的坐標為，點在軸上．

（1）求的值及這個二次函數的解析式；

（2）在軸上找一點，使的周長最小，并求出此時點坐標；

（3）若是軸上的一個動點，過作軸的垂線分別于直線和二次函數的圖象交于，兩點．當時，求線段的最大值；

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）時，最大長度

【解析】

（1）將點A的坐標代入一次函數的解析式即可求出m的值，根據題意設出二次函數的頂點式，再將點A的坐標代入二次函數的解析式，即可得出二次函數的解析式；

（2）聯立一次函數和二次函數的解析式求出點B的坐標，作點B關于x軸的對應點，連接，求出直線的解析式，再令y=0，即可得出答案；

（3）根據P的坐標設出點D和點E的坐標，用點D的縱坐標減去點E的縱坐標即可得出DE的函數解析式，再化為頂點式，即可得出答案.

解：（1）∵過點A(3,4)

∴3+m=4

解得：m=1

又二次函數的頂點M的坐標為(1,0)

∴可設二次函數的解析式為：

又二次函數過點A(3,4)

∴

解得：a=1

∴二次函數的解析式為：

（2）根據題意可得：

解得：或

∴點B的坐標為(0,1)

做點B關于x軸的對稱點

連接與x軸的交點即為所求

設直線的解析式為：y=kx+b

∴，解得

∴直線的解析式為：

當y=0時，x=

故點Q的坐標為()

（3）根據題意可得點D的坐標為，點E的坐標為

當0<a<3時，

∴當a=時，DE最長，此時DE=