Question

某工廠計劃生產甲、乙兩種型號的機器200臺，生產機器一定要有A、B兩種材料，現廠里有A種材料10000噸，B種材料6000噸，已知生產一臺甲機器和一臺乙機器所需A、B兩種材料的數量和售后利潤如下表所示：

機器型號	A種材料	B種材料	售后利潤
甲	55噸	20噸	5萬元
乙	40噸	36噸	6萬元

設生產甲種型號的機器x臺，售后的總利潤為y萬元．
（1）寫出y與x的函數關系式；
（2）若你是廠長，要使工廠所獲利潤最大，那么如何安排生產？（請結合所學函數知識說明理由）．

Answer 1

解：（1）設生產甲種型號的機器x臺，生產乙種型號的機器為（200-x）臺，
根據題意得，y=5x+6（200-x）=-x+1200，
∵現廠里有A種材料10000噸，B種材料6000噸，
∴，
由①得，x≤，
由②得，x≥75，
所以，x的取值范圍為75≤x≤，
所以，y與x的函數關系式為y=-x+1200（75≤x≤）；

（2）∵k=-1＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=75時，總利潤y最大，最大值為y=-75+1200=1125，
∴要使工廠所獲利潤最大，應安排生產生產甲種型號機器75臺，乙種型號機器125臺，此時獲得最大利潤1125萬元．
分析：（1）表示出生產乙種型號的機器為（200-x）臺，然后根據總利潤=甲的利潤+乙的利潤，列式整理即可得解；再根據廠里現有甲、乙兩種材料的數量列出不等式組求出x的取值范圍；
（2）根據一次函數的增減性求出y的最大值即可．
點評：本題考查了一次函數的應用，一元一次不等式組的應用，主要考查了利用一次函數的增減性求最大值，本題難點在于根據材料的現有量列不等式組求出x的取值范圍．