Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，點D是斜邊AB中點，作DE⊥AB，交直線AC于點E．
（1）若∠A=30°，求線段CE的長；
（2）當點E在線段AC上時，設BC=x，CE=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）若CE=1，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接BE，點D是AB中點且DE⊥AB，BE=AE，利用線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形即可求出線段CE的長
（2）連接BE，則AE=BE=6-y，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+y²=（6-y）²，整理即可得出y關于x的函數(shù)解析式，根據(jù)y=3-

x2

12

≥0，即可求得定義域．
（3）此題有兩種情況：一是當點E在線段AC上時，由（2）得1=3-

x2

12

，解得x即可，二是當點E在AC延長線上時，AE=BE=7，由勾股定理得BC²+CE²=BE²即x²+1²=7²．解得x即可．

解答：解：（1）連接BE，點D是AB中點且DE⊥AB，
∵∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，
又∵DE垂直平分AB，
∴∠ABE=∠BAE=30°，∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
又∵∠C=90°，∴CE=

1

2

BE=

1

2

AE，
∵AC=6，∴BE=AE=4，CE=

1

2

BE=

1

2

×4=2
答：線段CE的長為2；

（2）連接BE，則AE=BE=6-y，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+y²=（6-y）²，
解得y=3-

x2

12

，
得y=3-

x2

12

≥0，解得（0＜x≤6）
答：y關于x的函數(shù)解析式是y=3-

x2

12

；定義域是0＜x≤6．

（3）當點E在線段AC上時，由（2）得1=3-

x2

12

，
解得x=2

6

（負值已舍）
當點E在AC延長線上時，AE=BE=7，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+1²=7²．
解得x=4

3

（負值已舍）．
綜上所述，滿足條件的BC的長為2

6

，4

3

．
答：若CE=1，BC的長為2

6

和4

3

．

點評：此題主要考查學生對勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的理解和掌握，此題涉及到知識點較多，綜合性較強，是一道難題．