Question

【題目】如圖1，點E是正方形ABCD的邊CD上一點（不與C、D重合），連接AE，過點A作AF⊥AE交CB的延長線于點F

（1）求證：AE=AF；

（2）連接EF，N為EF之中點，連接BN，求的值；

（3）以BF為邊作正方形BFMH，如圖2，CH與AF相交于點Q，當E在CD上運動（不與C、D重合），問∠CQD的大小是否發生變化？若不變，求其值；若變化，請指出其范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不變，45°.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，∠ABF=90°，因為∠FAE=90°，所以∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，即；∠FAB=∠EAD，得到△ABF≌△DAE，求出AF=AE；
（2）取FC的中點N，連接MN，AM，因為點M是FE的中點，得到CE=2MN，由∠AKM=∠FKB，∠AMF=∠MNB=90°，得到△AKM∽△BKM，，因為∠AKB∠=MKB，所以△AFK∽△BKF，得到∠KBM=∠AFK=45°，∠MBN=45°，所以BM=MN，；
（3）過點D作DQ⊥PD交PC的延長線于Q，由四邊形BFHG是正方形，得到BG=BF，所以△ABF≌△CBG，∠FAB=∠BCG，由∠AGP=∠CGB，得到∠APG=∠ABC=90°，因為∠ADC=∠PDQ=90°，得到∠ADP=∠QDC，由AB∥CD，得到∠DCQ=∠AGC，∠PAG+∠BAD=∠PAG+∠APG，即∠PAD=∠AGC=∠DCQ，得到△PAD≌△QCD（ASA），PD=DQ，∠DPQ=45°，得出∠APD=45°．

（1）證明：∵AF⊥AE，∠BAD=90°，

∴∠FAB=∠EAD，

在△FAB和△EAD中，

，

∴△FAB≌△EAD，

∴AE=AF；

（2）如圖1，連接AN，作NM⊥BC于M，則NM∥CD，

又點N是FE的中點，

∴CE=2MN，

∵∠AKN=∠FKB，∠ANK=∠FBK=90°，

∴△AKN∽△FKB，

∴，

又∠AKF=∠NKB，

∴△AKF∽△NKB，

∴∠NBK=∠AFK=45°，

∴∠NBM=45°，

∴BN=MN，

∴；

（3）如圖2，過點D作DR⊥QD交BC的延長線于R，

∵四邊形BFMH是正方形，

∴BH=BF，

在△ABF與△CBH中，

，

∴△ABF≌△CBH，

∴∠BAF=∠BCH，又∠AHQ=∠CHB，

∴∠AQH=∠ABC=90°，

∵∠AHC=∠AQH+∠BAF，∠QAD=∠BAF+∠BAD，

∴∠AHC=∠QAD，

∵AB∥CD，

∴∠AHC=∠DCR，

∴∠DCR=∠QAD，

∵∠ADC=∠QDR=90°，

∴∠ADQ=∠CDR，

在△QAD和△DCR中，

，

∴△QAD≌△RCD，

∴DQ=DR，

∴∠CQD=45°．