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【題目】如圖,直角△ABC中,∠A為直角,AB=6,AC=8.點P,Q,R分別在AB,BC,CA邊上同時開始作勻速運動,2秒后三個點同時停止運動,點P由點A出發以每秒3個單位的速度向點B運動,點Q由點B出發以每秒5個單位的速度向點C運動,點R由點C出發以每秒4個單位的速度向點A運動,在運動過程中:

(1)求證:△APR,△BPQ,△CQR的面積相等;
(2)求△PQR面積的最小值;
(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示運動時間,是否存在t,使∠PQR=90°?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:如圖,在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,根據勾股定理得,BC=10,tan∠B= = =

過點Q作QE⊥AB于E,

在Rt△BQE中,BQ=5t,

∴sin∠B= = ,

∴QE=4t,

過點Q作QD⊥AC于D,

在Rt△CDQ中,CQ=BC﹣BQ=10﹣5t,

∴QD=CQsin∠C= (10﹣5t)=3(2﹣t),

由運動知,AP=3t,CR=4t,

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3(2﹣t),AR=AC﹣CR=8﹣4t=4(2﹣t),

∴SAPR= APAR= ×3t×4(2﹣t)=6t(2﹣t),

SBPQ= BPQE= ×3(2﹣t)×4t=6t(2﹣t),

SCQR= CRQD= ×4t×3(2﹣t)=6t(2﹣t),

∴SAPR=SBPQ=SCQR

∴△APR,△BPQ,△CQR的面積相等;


(2)解:由(1)知,SAPR=SBPQ=SCQR=6t(2﹣t),

∵AB=6,AC=8,

∴SPQR=SABC﹣(SAPR+SBPQ+SCQR

= ×6×8﹣3×6t(2﹣t)=24﹣18(2t﹣t2)=18(t﹣1)2+6,

∵0≤t≤2,

∴當t=1時,SPQR最小=6;


(3)解:存在,由點P,Q,R的運動速度知,運動1秒時,點P,Q,R分別在AB,BC,AC的中點,此時,四邊形APQR是矩形,即:t=1秒時,∠PQR=90°,

由(1)知,QE=4t,QD=3(2﹣t),AP=3t,CR=4t,AR=4(2﹣t),

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3(2﹣t),AR=AC﹣CR=8﹣4t=4(2﹣t),

過點Q作QD⊥AC于D,作QE⊥AB于E,∵∠A=90°,

∴四邊形APQD是矩形,

∴AE=DQ=3(2﹣t),AD=QE=4t,

∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4(2﹣t)|=4|2t﹣2|,PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3(2﹣t)|=3|2t﹣2|

∵∠DQE=90°,∠PQR=90°,

∴∠DQR=∠EQP,

∴tan∠DQR=tan∠EQP,

在Rt△DQR中,tan∠DQR= = ,

在Rt△EQP中,tan∠EQP= = ,

,

∴16t=9(2﹣t),

∴t=

即:t=1或 秒時,∠PQR=90°.


【解析】(1)由面積公式可知求三角形的面積,缺高時,須作垂線補出高,用t的代數式表示△APR,△BPQ,△CQR的面積,在由斜邊表示直角邊時選用正弦;(2)用△ABC面積減去第(1)問中表示的△APR的面積的3倍,構建二次函數,在0≤t≤2范圍內由二次函數的性質可求最值;(3)由點P,Q,R的運動速度知,36=,510=,運動1秒時,點P,Q,R分別在AB,BC,AC的中點,可證得四邊形APQD是矩形,∠PQR=90°;若∠PQR=90,則∠DQR=∠EQP,用t的代數式表示兩個角的正切,建立方程,求出t.
【考點精析】通過靈活運用二次函數的最值和銳角三角函數的定義,掌握如果自變量的取值范圍是全體實數,那么函數在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a;銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數即可以解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】如圖:在數軸上A點表示數a,B點示數b,C點表示數c,b是最小的正整數,且a、c滿足|a+2|+(c-7)2=0.

(1)a=______,b=______,c=______;

(2)若將數軸折疊,使得A點與C點重合,則點B與數______表示的點重合;

(3)A、B、C開始在數軸上運動,若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動,假設t秒鐘過后,若點A與點B之間的距離表示為AB,點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距離表示為BC.則AB=______,AC=______,BC=______.(用含t的代數式表示).

(4)直接寫出點BAC中點時的t的值.

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C.85
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(1)已知△ABC △ADE 互為頂補三角形,AF △ABC 的中線.

如圖 2,若△ADE 為等邊三角形時,求證:DE=2AF;

如圖 3,若△ADE 為任意三角形時,上述結論是否仍然成立?請說明理由.

(2)如圖4,四邊形 ABCD 中,∠B+∠C=90°.在平面內是否存在點 P,使△PAD △PBC 互為頂補三角形 若存在,請畫出圖形,并證明;若不存在,請說明理由.

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