Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC=10，點B到AC的距離為4，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、點C同時出發，沿對角線以1厘米/秒的相同速度運動，過E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG⊥AC交CD邊于G，連接HG．
（1）求∠ACB的正切值；
（2）設HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S，若點E的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；
（3）當t取何值時，以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，FG為半徑的圓F外切？

Answer 1

【答案】分析：（1）過點B作BM⊥AC于點M，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△AMB∽△BMC，由相似三角形對應邊成比例得出BM：MC=AM：BM，即BM²=AM•MC，設MC=x，列出方程，解方程求出x的值，根據三角函數的定義即可求出∠ACB的正切值；
（2）分三種情況討論：①點H在直角邊AD上；②點H在直角邊CD上，且H在G的左邊；③點H在直角邊CD上，且H在G的右邊．先用含t的代數式分別表示HE，GF，EF，再利用梯形的面積公式S=（GF+HE）•EF，即可求解；
（3）以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，FG為半徑的圓F外切時，根據兩圓外切時圓心距等于兩圓半徑之和，得出EH+FG=EF．再分三種情況討論：①點H在直角邊AD上；②點H在直角邊CD上，且H在G的左邊；③點H在直角邊CD上，且H在G的右邊．先用含t的代數式分別表示HE，GF，EF，再根據EH+FG=EF列出方程，解方程即可．
解答：解：（1）過點B作BM⊥AC于點M，則BM=4，
由題意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
又∵∠AMB=∠BMC=90°，
∴△AMB∽△BMC，
∴BM：MC=AM：BM，即BM²=AM•MC，
設MC=x，則AM=10-x，
∴4²=x（10-x），
解得x=2或x=8（不合題意，舍去）．
∴tan∠ACB===2；

（2）①當點H在直角邊AD上時，如原題圖．
由題意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB==2，
∴HE=2t，同理 GF=t，
∴由HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積S=（t+2t）（10-2t）=-t²+t，
即S=-t²+t（0＜t≤2）；
②當點H在直角邊CD上，且H在G的左邊時，如備用圖1．
由題意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=（10-t），GF=t，
∴由HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積S=[（10-t）+t]（10-2t）=25-5t，
即S=25-5t（2＜t＜5）；
③當點H在直角邊CD上，且H在G的右邊時，如備用圖2．
由題意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=（10-t），GF=t，
∴由HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積S=[（10-t）+t]（2t-10）=5t-25，
即 S=5t-25（5＜t≤8）；

（3）設以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，FG為半徑的圓F外切，
那么應滿足EH+FG=EF．
①當點H在直角邊AD上時，
∵HE=2t，GF=t，EF=10-2t，
∴2t+t=10-2t，解得t=．
∵0＜t≤2，∴t=不合題意，舍去；
②當點H在直角邊CD上，且H在G左邊時，
∵HE=（10-t），GF=t，EF=10-2t，
∴（10-t）+t=10-2t，
解得t=，符合題意；
③當點H在直角邊AD上，且H在G右邊時，
∵HE=（10-t），GF=t，EF=2t-10，
∴（10-t）+t=2t-10，
解得t=，符合題意；
綜上，可知當t=或時，以E為圓心，EH為半徑的圓E，與以F為圓心，FG為半徑的圓F外切．
點評：本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，梯形的面積，圓與圓的位置關系，綜合性較強，有一定難度．運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．