Question

如圖所示，四邊形ABCD內接于圓，若AB=AC，且∠ABD=60°．求證：AB=BD＋CD．

Answer 1

答案：略
解析：

證法一：延長CD到E使DE=DB，連接AE，∵四邊形ABCD內接于圓，∴∠ADE=∠ABC． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB． ∴∠ADB=∠ADE．在△ADB與△ADE中， ∴△ADB≌△ADE，∴AB=AE，∴AC=AE． ∵∠ABD=∠ACD=60°，∴△ACE是等邊三角形． ∴AC=CE，即AB=BD＋CD． 證法二：延長BD到F，使DF=CD．∵四邊形ABCD內接于圓， ∴∠ABC＋∠ADC=180°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB． ∵∠ADB＋∠ADF=180°，∴∠ADC=∠ADF． △ADC與△ADF中，∴△ADC≌△ADF， ∴AC=AF，∴AD=AF．∵∠ABD=60°，∴△ABF是等邊三角形． ∴AB=BD＋DF，即AB=BD＋CD．

提示：

求證的結論是一條線段等于兩條線段之和，根據已知條件，四邊形ABCD內接于圓，但是這樣的四邊形并不都會有這個結論，那么在其中起作用的應是∠ABD=60°及AB=AC．由于AC、BD是對角線，則有∠ABD=∠ACD．又因AB=AC，故問題化為證AC=BD＋CD，這時AC與CD相交于點C，且∠ACD=60°，所以這時若能使BD拼接在CD上，再證構成的三角形是等邊三角形即可．