Question

（2004•無錫）已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，過點A的切線與CD的延長線交于E，且∠ADE=∠BDC．
（1）求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四邊形ABCD內接于⊙O，可得∠ADE=∠ABC，又弧BC所對的圓周角是∠BAC=∠BDC從而可得∠ABC=∠BAC，故△ABC為等腰三角形；
（2）由弦切角定理可得∠EAD=∠ACE，∠E是公共角，可證△AED∽△CEA，利用對應邊的比相等求線段長度．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O
∴∠ADE=∠ABC
∵∠BDC=∠ADE
∵∠BAC=∠BDC
∴∠ABC=∠BAC
∴BC=AC
∴△ABC為等腰三角形；

（2）解：∵AE切⊙O于點A
∴∠EAD=∠ACE
∵∠AED=∠CEA
∴△AED∽△CEA
∴AE²=ED•EC=ED•（ED+CD）
∵AE=6，CD=5
∴6²=ED（ED+5）
∴ED=4或ED=-9（舍去）
∵△ADE∽△CAE
∴AD：AC=AE：CE
∵AC=BC=12
∴=
∴AD=8
答：AD的長為8．
點評：此題考查圓內接四邊形的性質定理，弦切角的性質定理等知識．解答本題關鍵是運用定理證明角相等，從而推出相似，運用對應邊的比相等，求線段的長．