Question

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直線為軸，過D且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標系．

（1）求∠DAB的度數及A、D、C三點的坐標；

（2）求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其對稱軸L．

（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使PDB為等腰三角形的點P有幾個?（不必求點P的坐標，只需說明理由）

Answer 1

解：（1） DC∥AB，AD=DC=CB，  ∠CDB=∠CBD=∠DBA，

     ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA，

∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60，

  ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 

RtAOD，OA=1，OD=，

A（-1，0），D（0， ），C（2， ）．  4分

（2）根據拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點A（－1，0），B（3，0），

故可設所求為  =（+1）（ -3）

將點D（0， ）的坐標代入上式得， =．

所求拋物線的解析式為  =   

其對稱軸L為直線=1．

（3） PDB為等腰三角形，有以下三種情況：

①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點P₁，P₁D=P₁B，

P₁DB為等腰三角形； 

②因為以D為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB為等腰三角形；

③與②同理，L上也有兩個點P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅． 

由于以上各點互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點P有5個．