Question

【題目】已知拋物線y＝x2－2bx＋c.

(1)若拋物線的頂點坐標為(2，－3)，求b，c的值；

(2)若b＋c＝0，是否存在實數x，使得相應的y的值為1？請說明理由；

(3)若c＝b＋2且拋物線在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）b＝2，c＝1（2）存在（3）3或

【解析】

（1）根據題意得到拋物線為y=(x-2)2-3，整理成一般式即可求得b，c的值；

（2）令y=1，判斷所得方程的判別式大于0即可求解；

（3）求得函數的對稱軸是x=b，然后分成b≤-2，-2＜b＜2和b≥2三種情況進行討論，然后根據最小值是-3，即可解方程求解．

解：（1）∵拋物線y＝x2－2bx＋c，

∴a＝1.

∵拋物線的頂點坐標為(2，－3)，

∴y＝(x－2)2－3.

∵y＝(x－2)2－3＝x2－4x＋1，

∴b＝2，c＝1.

（2）存在．

理由：由y＝1，得x2－2bx＋c＝1，

∴x2－2bx＋c－1＝0.

∵Δ＝4b2＋4b＋4＝(2b＋1)2＋3＞0，

則存在兩個實數x，使得y＝1.

（3）由c＝b＋2，則拋物線可化為y＝x2－2bx＋b＋2，其對稱軸為直線x＝b.

①當b≤－2時，則拋物線在x＝－2時取得最小值，此時

－3＝(－2)2－2×(－2)b＋b＋2，

解得b＝－，不合題意；

②當b≥2時，則拋物線在x＝2時取得最小值，

此時－3＝22－2×2b＋b＋2，

解得b＝3；

③當－2＜b＜2時，則拋物線在x＝b時取得最小值，

此時＝－3，

化簡，得b2－b－5＝0，

解得b1＝ (不符合題意，舍去)，b2＝.

綜上所述，b的值為3或.