Question

如圖，△ACF內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．
（1）求證：∠ACE=∠AFC；
（2）若CD=BE=8，求sin∠AFC的值．

Answer 1

分析：（1）由垂徑定理得出

AC

=

AD

，再由圓周角定理即可得出∠ACE=∠AFC；
（2）連接OC，設圓的半徑為r，在直角三角形OCE中，由勾股定理得出r，由于∠ACE=∠AFC；可在直角三角形ACE中求得答案．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴AC=AD，
∴

AC

=

AD

，
∴∠ACE=∠AFC；

（2）解：連接OC，
設圓的半徑為r，
∵CD=BE=8，
∴CE=4，OE=8-r，
∴在直角三角形OCE中，
r²-（8-r）²=16，
∴r=5，
∴AE=2，
∴AC=2

5

，
∴sin∠AFC=sin∠ACE=

AE

AC

=

2

2 5

=

5

5

．

點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數的定義，是基礎知識要熟練掌握．