Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，且CO=BO=3AO，AB=4，拋物線的頂點為D．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）點E（0，n）在y軸正半軸上，且位于點C的下方．當n在什么范圍內取值時∠CBD＜∠CED？當n在什么范圍內取值時∠CBD＞∠CED？
（3）若過點B的直線垂直于BD且與直線CD交于點P，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）設AO=m，
∵CO=BO=3AO，AB=4
∴CO=BO=3m，
∴m+3m=4，m=1
∴A、B、C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），
∴二次函數的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）二次函數=-x²+2x+3的頂點D的坐標為（1，4），
過點D作DH⊥y軸于H，
∴DH=1，CH=OH-OC=1
∴CD=，
由題意，得BC=3，BD=2
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD為直角三角形，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=
若∠CBD=∠CED，則tan∠CBD=tan∠CED
在Rt△EDH中，tan∠CED==
∴EH=3，
∴OE=1，
∴此時點E的坐標為（0，1），
∵點E位于點O的下方，
∴當1＜n＜3時，∠CBD＜∠CED，
當0＜n＜1時，∠CBD＞∠CED；

（3）∵△BCD為直角三角形，
∴BC⊥CD
∵過點B的直線垂直于BD且與直線CD交于點P
∴BP⊥BD
∴△BCD∽△PCB
∴BC²=CD•PC，
∴PC=9
設直線CD的解析式為y=kx+b，
∵C點的坐標為（0，3），D坐標為（1，4）
∴直線CD的解析式為y=x+3，
∴直線CD與x軸交點K的坐標為（-3，0）
∴OC=OK=3，
∴∠CKO=∠FKP=45°，
∴CK=3，
∴PK=6
過點P作PF⊥x軸于點F，
∴PF=6，FK=6，
∴P點的坐標為（-9，-6）．
分析：（1）設AO=m，利用CO=BO=3AO，AB=4，得到CO=BO=3m，從而求得m的值后確定A、B、C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），利用待定系數法確定二次函數的解析式即可；
（2）求得二次函數=-x²+2x+3的頂點D的坐標，過點D作DH⊥y軸于H，利用DH=1，CH=OH-OC=1，得CD=，得到CD²+BC²=BD²，利用勾股定理的逆定理得到△BCD為直角三角形，利用銳角三角函數得到點E的坐標為（0，1），從而確定當1＜n＜3時，∠CBD＜∠CED，
當0＜n＜1時，∠CBD＞∠CED；
（3）根據△BCD為直角三角形，得到BC⊥CD，然后證得BCD∽△PCB，利用BC²=CD•PC求得PC=9，從而確定直線CD的解析式為y=x+3，然后求得CK=3、PK=6，過點P作PF⊥x軸于點F，得到PF=6，FK=6，從而確定P點的坐標為（-9，-6）．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，題目中涉及到了勾股定理的逆定理等知識，綜合性較強，難度較大．