Question

已知拋物線y=-x²+mx-n的對稱軸為x=-2，且與x軸只有一個交點．
（1）求m，n的值；
（2）把拋物線沿x軸翻折，再向右平移2個單位，向下平移1個單位，得到新的拋物線C，求新拋物線C的解析式；
（3）已知P是y軸上的一個動點，定點B的坐標為（0，1），問：在拋物線C上是否存在點D，使△BPD為等邊三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對稱軸公式求出m=-4．再利用拋物線與x軸只有一個交點，得出m²-4n=0，進而得出n的值；
（2）根據m，n的值求出二次函數解析式，進而利用二次函數的平移得出新的解析式；
（3）根據等邊三角形的性質得出．進而得出a²=3（b-1）²．求出a，b的值即可．
解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=-2，
∴m=-4．
∵拋物線與x軸只有一個交點，
∴m²-4n=0．
∴n=4．

（2）∵m=-4，n=4，
∴y=-x²-4x-4．
∴y=-（x+2）²．
∴拋物線C的解析式為 y=x²-1．

（3）假設點D存在，設D（a，b）．
作DH⊥y軸于點H，如圖；
則DH=|a|，BH=|b-1|．
由△DPB為等邊三角形，
得Rt△DHB中，∠HBD=60°．
∴．
∴．
∴a²=3（b-1）²．
∵D（a，b）在拋物線C上，
∴b=a²-1．
∴b=3（b-1）²-1．
∴b=2或．
∴或．
∴滿足條件的點存在，分別為．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合題目，利用函數與坐標軸交點性質以及二次函數平移是重點知識，同學們應重點掌握．