Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4），現有兩動點P，Q，點P從點O出發沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度勻速向點C運動，點Q從點C出發沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動．點P，Q同時出發，同時停止，設運動時間為t（秒），當t=2（秒）時，PQ=2．
（1）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍．
（2）連接AQ并延長交x軸于點E，把AE沿AD翻折交CD延長線于點F，連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數關系式；若不變化，求出S的值．
（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理求出PC的長度，然后利用矩形的性質確定D點的坐標；自變量的取值范圍由動點到達終點的時間來確定；
（2）本問關鍵是利用相似三角形與翻折變換的性質，求出S的表達式．注意求圖形面積的方法S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AOE．經化簡計算后，S=32為定值，所以S不變；
（3）由四邊形APQF是梯形，可得PQ∥AF，從而得到相似三角形△CPQ∽△DAF；再由線段比例關系求出時間t．
解答：解：（1）由題意可知，當t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，
∴OC=OP+PC=4+4=8，
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．
點P到達終點所需時間為=4秒，點Q到達終點所需時間為=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4．

（2）結論：△AEF的面積S不變化．
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，
∴，即，解得CE=．
由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4-t，則CF=CD+DF=8-t．
S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AOE
=（OA+CF）•OC+CF•CE-OA•OE
=[4+（8-t）]×8+（8-t）•-×4×（8+）
化簡得：S=32為定值．
所以△AEF的面積S不變化，S=32．

（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQ∥AF．
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，
∴，即，化簡得t²-12t+16=0，
解得：t₁=6+2，t₂=6-2，
由（1）可知，0＜t＜4，∴t₁=6+2不符合題意，舍去．
∴當t=（6-2）秒時，四邊形APQF是梯形．
點評：本題是動點型壓軸題，綜合考查了坐標平面內平面圖形的性質，所涉及的考點包括相似三角形、勾股定理、矩形、翻折變換、動點變化、解方程和分式運算等，有一點的難度，考查范圍比較廣泛，是一道不錯的好題．