Question

已知，如圖1，過點E（0，-1）作平行于x軸的直線l，拋物線y=x²上的兩點A、B的橫坐標分別為-1和4，直線AB交y軸于點F，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點C、D，連接CF、DF．
（1）求點A、B、F的坐標；
（2）求證：CF⊥DF；
（3）點P是拋物線y=x²對稱軸右側圖象上的一動點，過點P作PQ⊥PO交x軸于點Q，是否存在點P使得△OPQ與△CDF相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：
（1）方法一：如圖1，當x=-1時，y=；當x=4時，y=4
∴A（-1，）
B（4，4）
設直線AB的解析式為y=kx+b
則
解得
∴直線AB的解析式為y=x+1
當x=0時，y=1∴F（0，1）
方法二：求A、B兩點坐標同方法一，如圖2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分別為G、H，交y軸于點N，則四邊FOMG和四邊形NOMH均為矩形，設FO=x
∵△BGF∽△BHA
∴
∴
解得x=1
∴F（0，1）

（2）證明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根據勾股定理得：CF²=CE²+EF²=1²+2²=5，
∴CF=
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF²=DE²+EF²=4²+2²=20
∴DF=2
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD²=5²=25
∴CF²+DF²=CD²
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF
方法二：由（1）知AF=，AC=
∴AF=AC
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF

（3）存在．
解：如圖3，作PM⊥x軸，垂足為點M
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴∴
設P（x，x²）（x＞0），
則PM=x²，OM=x
①當Rt△QPO∽Rt△CFD時，
∴
解得x=2∴P₁（2，1）
②當Rt△OPQ∽Rt△CFD時，=2
∴=2
解得x=8
∴P₂（8，16）
綜上，存在點P₁（2，1）、P₂（8，16）使得△OPQ與△CDF相似．
分析：（1）有兩種方法，方法一是傳統的點的待定系數法，方法二，通過作輔助線，構造△BGF∽△BHA由比例關系求出F點坐標．
（2）也有兩種方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF邊長利用勾股定理證明CF⊥DF；方法二利用幾何關系求出∠CFD=90°；
（3）求存在性問題，先假設存在，看是否找到符合條件的點P的坐標，此題分兩種情況；（1）Rt△QPO∽Rt△CFD；（2）Rt△OPQ∽Rt△CFD，根據比例求出P點坐標．
點評：此題是一道綜合性較強的題，前兩問方法多，有普通的方法和新穎的方法，作合適的輔助線很重要，最后一問是探究性問題，發散思維．