Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若tanC= ，⊙O的半徑為2，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE．

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

又∵∠DAE=∠OAE，

∴∠OEA=∠DAE，

∴OE∥AD，

∴∠ADC=∠OEC，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

故∠OEC=90°．

∴OE⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：∵tanC= ，

∴∠C=30°，

又∵OE=2，

∴OC=4，AC=6，

在Rt△OCE中，tanC= ，

∴CE=2 ，

在Rt△ACD中，cosC= ，

CD=3

∴DE=CD﹣CE=3 ﹣2 = ．

【解析】（1）連接OE．依據等腰三角形的性質和角平分線的定義可得到∠OEA=∠DAE，從而可證明OE∥AD，然后依據平行線的性質可證∠OEC=90°；
（2）先依據特殊銳角三角函數值可求得∠C=30°，然后可求得AC=6，依據特殊銳角三教函數值可求得CE和CD的長，最后依據DE=CD﹣CE求解即可.
【考點精析】認真審題，首先需要了解角平分線的性質定理(定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法))的相關知識才是答題的關鍵．